En la época de Newton, la gravedad era algo asociado solo con la Tierra. La experiencia cotidiana nos muestra que la Tierra ejerce una fuerza gravitacional sobre los objetos en su superficie. Si sueltas algo, se acelera hacia la Tierra a medida que cae. La idea de Newton fue que la gravedad de la Tierra podría extenderse hasta la Luna y producir la fuerza requerida para curvar el camino de la Luna desde una línea recta y mantenerla en su órbita. Además, planteó la hipótesis de que la gravedad no se limita a la Tierra, sino que existe una fuerza general de atracción entre todos los cuerpos materiales. Si es así, la fuerza atractiva entre el Sol y cada uno de los planetas podría mantenerlos en sus órbitas. (Esto puede parecer parte de nuestro pensamiento cotidiano hoy, pero fue una visión notable en la época de Newton).
Una vez que Newton planteó con audacia que había una atracción universal entre todos los cuerpos en todas partes del espacio, tuvo que determinar la naturaleza exacta de la atracción. La descripción matemática precisa de esa fuerza gravitacional tenía que dictar que los planetas se mueven exactamente como Kepler los había descrito (como se expresa en las tres leyes de Kepler). Además, esa fuerza gravitacional tenía que predecir el comportamiento correcto de los cuerpos que caían en la Tierra, como observó Galileo. ¿Cómo debe depender la fuerza de la gravedad de la distancia para que se cumplan estas condiciones?
La respuesta a esta pregunta requería herramientas
matemáticas que aún no se habían desarrollado, pero esto no disuadió a Isaac
Newton, quien inventó lo que hoy llamamos cálculo para tratar este problema.
Finalmente, pudo concluir que la magnitud de la fuerza de gravedad debe
disminuir a medida que aumenta la distancia entre el Sol y un planeta (o entre
dos objetos) en proporción al cuadrado inverso de su separación. En otras
palabras, si un planeta estuviese dos veces más lejos del Sol, la fuerza sería
(1/2)2, o 1/4 tan grande. Coloque el planeta tres veces más lejos, y
la fuerza es (1/3)2, o 1/9 tan grande.
Newton también concluyó que la atracción gravitacional entre
dos cuerpos debe ser proporcional a sus masas. Mientras más masa tenga un
objeto, más fuerte será la fuerza de su fuerza gravitacional. Por lo tanto, la
atracción gravitacional entre dos objetos está dada por una de las ecuaciones
más famosas de toda la ciencia:
Donde Fgravity es la fuerza gravitacional entre
dos objetos, M1 y M2 son las masas de los dos objetos, y
R es su separación. G es un número constante conocido como la constante
gravitacional universal, y la ecuación misma resume simbólicamente la ley
universal de gravitación de Newton. Con tal fuerza y las leyes del movimiento,
Newton pudo demostrar matemáticamente que las únicas órbitas permitidas eran
exactamente las descritas por las leyes de Kepler.
La ley universal de la gravitación de Newton funciona para
los planetas, pero ¿es realmente universal? La teoría gravitacional también
debe predecir la aceleración observada de la Luna hacia la Tierra cuando orbita
alrededor de la Tierra, así como de cualquier objeto (por ejemplo, una manzana)
que se caiga cerca de la superficie de la Tierra. La caída de una manzana es
algo que podemos medir con bastante facilidad, pero ¿podemos usarla para
predecir los movimientos de la Luna?
Recordemos que según la segunda ley de Newton, las fuerzas
causan aceleración. La ley universal de la gravitación de Newton dice que la
fuerza que actúa sobre (y por lo tanto la aceleración de) un objeto hacia la
Tierra debe ser inversamente proporcional al cuadrado de su distancia desde el
centro de la Tierra. Se observa que los objetos como las manzanas en la
superficie de la Tierra, a una distancia de un radio de la Tierra desde el
centro de la Tierra, aceleran hacia abajo a 9.8 metros por segundo por segundo
(9.8 m / s2).
Es esta fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra la
que nos da nuestra sensación de peso. A diferencia de su masa, que permanecería
igual en cualquier planeta o luna, su peso depende de la fuerza de gravedad
local. Por lo tanto, pesaría menos en Marte y la Luna que en la Tierra, aunque
no haya cambios en su masa. (¡Lo que significa que aún tendrías que relajarte
con los postres en la cafetería de la universidad cuando volvieras!)
La Luna está a 60 radios de la Tierra lejos del centro de la
Tierra. Si la gravedad (y la aceleración que causa) se debilita con la
distancia al cuadrado, la aceleración que experimenta la Luna debería ser mucho
menor que la de la manzana. La aceleración debe ser (1/60)2 = 1/3600
(o 3600 veces menos, aproximadamente 0.00272 m / s2. Esta es
precisamente la aceleración observada de la Luna en su órbita. (Como veremos,
la Luna no cae a la Tierra con esta aceleración, pero cae alrededor de la
Tierra.) Imagine la emoción que Newton debió sentir al darse cuenta de que
había descubierto y verificado una ley que es válida para la Tierra, las
manzanas, la Luna y, por lo que él sabía, todo en el universo.
Ejemplo
Cálculo de peso
¿Por qué factor cambiaría el peso de una persona en la
superficie de la Tierra si la Tierra tuviera su masa actual pero ocho veces su
volumen actual?
Solución
Con ocho veces el volumen, el radio de la Tierra se
duplicaría. Esto significa que la fuerza gravitacional en la superficie se reduciría
en un factor de (1/2)2 = 1/4, por lo que una persona pesaría solo un
cuarto.
Comprueba tu aprendizaje
¿Por qué factor cambiaría el peso de una persona en la
superficie de la Tierra si la Tierra tuviera su tamaño actual pero solo un
tercio de su masa actual?
Con un tercio de su masa actual, la fuerza gravitacional en la superficie se reduciría en un factor de 1/3, por lo que una persona solo pesaría un tercio.
La gravedad es una propiedad "incorporada" de la masa. Siempre que haya masas en el universo, interactuarán a través de la fuerza de la atracción gravitacional. Cuanta más masa haya, mayor será la fuerza de atracción. Aquí en la Tierra, la mayor concentración de masa es, por supuesto, el planeta en el que nos encontramos, y su atracción domina las interacciones gravitacionales que experimentamos. Pero todo con masa atrae todo lo demás con masa en cualquier parte del universo.
La ley de Newton también implica que la gravedad nunca se convierte en cero. Rápidamente se debilita con la distancia, pero continúa actuando hasta cierto punto, no importa cuán lejos se encuentre. La atracción del Sol es más fuerte en Mercurio que en Plutón, pero se puede sentir mucho más allá de Plutón, donde los astrónomos tienen buena evidencia de que continuamente hace que enormes cantidades de cuerpos helados más pequeños se muevan alrededor de enormes órbitas. Y la atracción gravitacional del Sol se une con la atracción de miles de millones de otras estrellas para crear la atracción gravitacional de nuestra galaxia, la Vía Láctea. Esa fuerza, a su vez, puede hacer que otras galaxias más pequeñas orbiten alrededor de la Vía Láctea, y así sucesivamente.
¿Por qué es entonces, se preguntarán, que los astronautas a bordo del transbordador espacial parecen no tener fuerzas gravitacionales que actúen sobre ellos cuando vemos imágenes en la televisión de los astronautas y los objetos que flotan en la nave espacial? Después de todo, los astronautas en el transbordador están a solo unos cientos de kilómetros sobre la superficie de la Tierra, que no es una distancia significativa en comparación con el tamaño de la Tierra, por lo que la gravedad ciertamente no es mucho más débil que mucho más lejos. Los astronautas se sienten "ingrávidos" (lo que significa que no sienten la fuerza gravitacional que actúa sobre ellos) por la misma razón que los pasajeros en un elevador cuyo cable se ha roto o en un avión cuyos motores ya no funcionan se sienten ingrávidos: están cayendo.
 |
| Astronautas en caída libre. Mientras están en el espacio, los astronautas caen libremente, por lo que experimentan "ingravidez". En el sentido de las agujas del reloj desde la parte superior izquierda: Tracy Caldwell Dyson (NASA), Naoko Yamzaki (JAXA), Dorothy Metcalf-Lindenburger (NASA) y Stephanie Wilson (NASA). |
Cuando caen, están en caída libre y aceleran al mismo ritmo que todo lo que les rodea, incluida su nave espacial o una cámara con la que están tomando fotografías de la Tierra. Al hacerlo, los astronautas no experimentan fuerzas adicionales y, por lo tanto, se sienten "ingrávidos". Sin embargo, a diferencia de los pasajeros del ascensor que caen, los astronautas caen alrededor de la Tierra, no a la Tierra; Como resultado, continuarán cayendo y se dice que están "en órbita" alrededor de la Tierra (consulte la siguiente sección para obtener más información sobre las órbitas).
Movimiento orbital y masa
Las leyes de Kepler describen las órbitas de los objetos cuyos movimientos están descritos por las leyes del movimiento de Newton y la ley de la gravedad. Sin embargo, saber que la gravedad es la fuerza que atrae a los planetas hacia el Sol permitió a Newton repensar la tercera ley de Kepler. Recordemos que Kepler había encontrado una relación entre el período orbital de la revolución de un planeta y su distancia del Sol. Pero la formulación de Newton introduce el factor adicional de las masas del Sol (M1) y el planeta (M2), ambos expresados en unidades de la masa del Sol. La ley universal de gravitación de Newton se puede usar para mostrar matemáticamente que esta relación es realmente.
donde a es el semieje mayor y P es el período orbital.
¿Cómo se perdió Kepler este factor? En unidades de la masa
del Sol, la masa del Sol es 1, y en unidades de la masa del Sol, la masa de un
planeta típico es un factor insignificantemente pequeño. Esto significa que la
suma de la masa del Sol y la masa de un planeta, (M1 + M2),
es muy, muy cercana a 1. Esto hace que la fórmula de Newton parezca casi la
misma que la de Kepler; La pequeña masa de los planetas en comparación con el
Sol es la razón por la que Kepler no se dio cuenta de que ambas masas debían
incluirse en el cálculo. Sin embargo, hay muchas situaciones en astronomía en
las que necesitamos incluir los dos términos de masa, por ejemplo, cuando dos
estrellas o dos galaxias se orbitan entre sí.
Incluir el término en masa nos permite usar esta fórmula de
una manera nueva. Si podemos medir los movimientos (distancias y períodos
orbitales) de los objetos que actúan bajo su gravedad mutua, entonces la
fórmula nos permitirá deducir sus masas. Por ejemplo, podemos calcular la masa
del Sol usando las distancias y los períodos orbitales de los planetas, o la
masa de Júpiter observando los movimientos de sus lunas.
De hecho, la reformulación de Newton de la tercera ley de
Kepler es uno de los conceptos más poderosos en astronomía. Nuestra capacidad
para deducir las masas de objetos de sus movimientos es clave para comprender la
naturaleza y la evolución de muchos cuerpos astronómicos. Usaremos esta ley
repetidamente a lo largo de este texto en cálculos que van desde las órbitas de
los cometas hasta las interacciones de las galaxias.
Ejemplo:
Cálculo de los efectos de la gravedad
Un planeta como la Tierra se encuentra orbitando su estrella
a una distancia de 1 UA en 0,71 años terrestres. ¿Puedes usar la versión de
Newton de la tercera ley de Kepler para encontrar la masa de la estrella?
(Recuerde que en comparación con la masa de una estrella, la masa de un planeta
similar a la Tierra puede considerarse insignificante).
Solución
En la fórmula a3 = (M1 + M2) × P2,
el factor M1 + M2 ahora sería aproximadamente igual a M1
(la masa de la estrella), ya que la masa del planeta es tan pequeña en comparación.
Entonces la fórmula se convierte en a3 = M1 × P2,
y podemos resolver para M1:
Como a = 1, a3 = 1, entonces
Entonces la masa de la estrella es el doble de la masa de nuestro Sol. (Recuerde que esta forma de expresar la ley tiene unidades en términos de la Tierra y el Sol, por lo que las masas se expresan en unidades de la masa de nuestro Sol).
Comprueba tu aprendizaje
Supongamos que una estrella con el doble de la masa de nuestro Sol tiene un planeta similar a la Tierra que tardó 4 años en orbitar la estrella. ¿A qué distancia (semieje mayor) orbitaría este planeta su estrella?
Respuesta
De nuevo, podemos descuidar la masa del planeta. Entonces M1
= 2 y P = 4 años. La fórmula es a3 = M1 × P2,
entonces a3 = 2 × 42 = 2 × 16 = 32. Entonces, a es la
raíz cúbica de 32. Para encontrar esto, puede preguntarle a Google, “¿Cuál es
la raíz cúbica de 32? " y obtenga la respuesta 3.2 AU.
¿Te sirvió el contenido del tema? ¿tienes alguna duda o sugerencia?
Puedes escribir un comentario en la parte de abajo y nosotros con gusto te responderemos. Esperemos que tengas un lindo día. ¡Mucho éxito en tus estudios!
