Aunque el conteo se enseña por primera vez a una edad
temprana, dominar las matemáticas, que es el estudio de los números, requiere
atención constante. Si ha pasado un tiempo desde que estudió matemáticas, puede
ser útil revisar temas básicos. En este capítulo, nos centraremos en los
números utilizados para contar, así como en cuatro operaciones aritméticas:
suma, resta, multiplicación y división.
Identificar números de conteo y números enteros
Aprender álgebra es similar a aprender un idioma. Comienzas
con un vocabulario básico y luego lo agregas a medida que avanzas. Necesitas
practicar a menudo hasta que el vocabulario sea fácil para ti. Cuanto más usas
el vocabulario, más familiar te resulta.
El álgebra usa números y símbolos para representar palabras
e ideas. Veamos primero los números. Los números más básicos usados en álgebra
son aquellos que usamos para contar objetos: 1, 2, 3, 4, 5, ... y así
sucesivamente. Estos se llaman los números
de conteo. La notación "..." se llama puntos suspensivos, que es
otra forma de mostrar "y así sucesivamente", o que el patrón continúa
sin cesar. Los números de conteo también se llaman números naturales.
Los números de conteo y los números enteros se pueden
visualizar en una línea numérica como se muestra a continuación.
 |
| Los números en la recta numérica aumentan de izquierda a derecha y disminuyen de derecha a izquierda. |
El punto etiquetado 0 se llama origen. Los puntos están igualmente espaciados a la derecha de 0 y
etiquetados con los números de conteo. Cuando un número se combina con un punto,
se llama la coordenada del punto.
El descubrimiento del número cero fue un gran paso en la
historia de las matemáticas. Incluir cero con los números de conteo da un nuevo
conjunto de números llamados números
enteros.
Los números enteros son los números de conteo y cero.
0, 1, 2, 3, 4, 5 ...
Nos detuvimos a las 5 cuando enumeramos los primeros números
contables y números enteros. Podríamos haber escrito más números si fueran
necesarios para aclarar los patrones.
Ejemplo:
¿Cuáles de los siguientes son ⓐ
números de conteo? Ⓑ números enteros?
0, 1/4, 3, 5.2, 15,
105
Solución:
Ⓐ Los números de conteo comienzan en 1, entonces 0 no es un
número de conteo. Los números 3, 15 y 105 son todos números contables.
Ⓑ Los números enteros son los números de conteo y 0. Los
números 0, 3, 15 y 105 son números enteros. Los números 1/4 y 5.2 no son
números de conteo ni números enteros.
Números enteros modelo
Nuestro sistema de números se llama un sistema de valor
posicional porque el valor de un dígito depende de su posición, o lugar, en un
número. El número 537 tiene un valor diferente que el número 735. Aunque usan
los mismos dígitos, su valor es diferente debido a la diferente ubicación del 3
y el 7 y el 5.
El dinero nos da un modelo familiar de valor posicional.
Supongamos que una billetera contiene tres billetes de $ 100, siete billetes de
$ 10 y cuatro billetes de $ 1. Las cantidades se resumen en la siguiente imagen.
¿Cuánto dinero hay en la billetera?
Encuentre el valor total de cada tipo de factura y luego
sume para encontrar el total. La billetera contiene $ 374.
Los bloques de base 10 proporcionan otra forma de modelar el
valor posicional, como se muestra en la siguiente imagen. Los bloques se pueden
usar para representar cientos, decenas y unidades. Observe que la barra de
decenas está compuesta por 10 unidades, y el cuadrado de las centenas está
formado por 10 decenas, o 100 unidades.
En la siguiente imagen muestra el número 138 modelado con
bloques de base 10.
Digito
|
Valor posicional
|
Numero
|
Valor
|
Valor total
|
1
|
Cientos
|
1
|
100
|
10
|
3
|
Decenas
|
3
|
10
|
30
|
8
|
Unos
|
8
|
1
|
8
|
138
|
Ejemplo
Use la notación de valor posicional para encontrar el valor
del número modelado por los bloques de base 10 que se muestran.
Solución
Hay 2 cientos cuadrados, que son 200.
Hay 1 barra de decenas, que es 10.
Hay 5 bloques de unidades, que son 5.
Digito
|
Valor posicional
|
Número
|
Valor
|
Valor total
|
2
|
Cientos
|
2
|
100
|
200
|
1
|
Decenas
|
1
|
10
|
10
|
5
|
Unos
|
5
|
1
|
5
|
215
|
Identificar el valor posicional de un dígito
Al observar el dinero y los bloques de base 10, vimos que
cada lugar en un número tiene un valor diferente. Un cuadro de valor posicional
es una forma útil de resumir esta información. Los valores posicionales se
separan en grupos de tres, llamados períodos. Los períodos son unos, miles,
millones, miles de millones, billones, etc. En un número escrito, las comas
separan los puntos.
Al igual que con los bloques de base 10, donde el valor de
la barra de decenas es diez veces el valor del bloque de unidades y el valor
del cuadrado de cientos es diez veces la barra de decenas, el valor de cada
lugar en la tabla de valor posicional es diez veces el valor del lugar a la
derecha del mismo.
A continuación se muestra cómo se escribe el número
5,278,194 en una tabla de valor posicional.
• El dígito 5 está en el lugar de los millones. Su valor es
de 5,000,000.
• El dígito 2 está en el lugar de los cien mil. Su valor es
de 200,000.
• El dígito 7 está en el lugar de los diez mil. Su valor es
de 70,000.
• El dígito 8 está en el lugar de los miles. Su valor es de
8,000.
• El dígito 1 está en el lugar de las centenas. Su valor es
100.
• El dígito 9 está en el lugar de las decenas. Su valor es
90.
• El dígito 4 está en el lugar de las unidades. Su valor es
4.
Usar valor posicional para nombrar números enteros
Cuando escribe un cheque, escribe el número en palabras y
también en dígitos. Para escribir un número en palabras, escriba el número en
cada período seguido del nombre del período sin las "s" al final.
Comience con el dígito a la izquierda, que tiene el mayor valor posicional. Las
comas separan los puntos, por lo que siempre que haya una coma en el número,
escriba una coma entre las palabras. El período de las unidades, que tiene el
valor posicional más pequeño, no tiene nombre.
Entonces el número 37,519,248 está escrito treinta y siete
millones, quinientos diecinueve mil, doscientos cuarenta y ocho.
Ejemplo
Nombra el
número 8,165,432,098,710 en palabras.
Solución
Al unir todas las palabras, escribimos 8.165.432.098.710
como ocho billones, ciento sesenta y cinco mil millones, cuatrocientos treinta
y dos millones, noventa y ocho mil setecientos diez.
Use el valor posicional para escribir números enteros
Ahora invertiremos el proceso y escribiremos un número dado
en palabras como dígitos.
Escribe los siguientes números usando dígitos.
Ⓐ cincuenta y tres millones cuatrocientos un mil
setecientos cuarenta y dos
Ⓑ nueve mil doscientos cuarenta y seis millones setenta y
tres mil ciento ochenta y nueve
Solución
Ⓐ Identificar las palabras que indican períodos.
Excepto por el primer período, todos los demás períodos
deben tener tres lugares. Dibuje tres espacios en blanco para indicar el número
de lugares necesarios en cada período. Separe los puntos por comas.
Luego escribe los dígitos en cada período.
Pon los números juntos, incluyendo las comas. El número es
53,401,742.
Ⓑ Identificar las palabras que indican períodos.
Excepto por el primer período, todos los demás períodos
deben tener tres lugares. Dibuje tres espacios en blanco para indicar el número
de lugares necesarios en cada período. Separe los puntos por comas.
Luego escribe los dígitos en cada período.
El número es 9.246.073.189. Observe que en la parte ⓑ,
se necesitaba un cero como marcador de posición en el lugar de los cientos de
miles. Asegúrese de escribir ceros según sea necesario para asegurarse de que
cada período, excepto posiblemente el primero, tenga tres lugares.
Números enteros redondos
En 2013, la Oficina del Censo de EE. UU. Informó que la
población del estado de Nueva York era de 19,651,127 personas. Puede ser
suficiente decir que la población es de aproximadamente 20 millones. La palabra
significa aproximadamente que 20 millones no es la población exacta, pero está
cerca del valor exacto.
El proceso de aproximación de un número se llama redondeo. Los números se redondean a un
valor posicional específico según la precisión que se necesite. Decir que la
población de Nueva York es de aproximadamente 20 millones significa que
redondeamos a millones. El valor posicional al que redondeamos depende de cómo
necesitemos usar el número. Usar la recta numérica puede ayudarlo a visualizar
y comprender el proceso de redondeo. Mire la siguiente recta numérica .
Supongamos que queremos redondear el número 76 a la decena
más cercana. ¿76 está más cerca de 70 u 80 en la recta numérica?
 |
| Podemos ver que 76 está más cerca de 80 que de 70. Entonces 76 redondeado a la decena más cercana es 80. |
Ahora considere el número 72. Encuentre 72 en la siguiente
recta.
 |
| Podemos ver que 72 está más cerca de 70, entonces 72 redondeado a la decena más cercana es 70. |
¿Cómo redondeamos 75 a la decena más cercana? Encuentra 75
en la siguiente recta.
Para que todos redondeen de la misma manera en casos como
este, los matemáticos han acordado redondear al número más alto, 80. Entonces,
75 redondeado a la decena más cercana es 80.
Ahora que hemos visto este proceso en la recta numérica,
podemos Introducir un procedimiento más general. Para redondear un número a un
lugar específico, mire el número a la derecha de ese lugar. Si el número es
menor que 5, redondea hacia abajo. Si es mayor o igual a 5, redondee hacia
arriba. Entonces, por ejemplo, para redondear 76 a la decena más cercana,
miramos el dígito en el lugar de las unidades.
El dígito en el lugar de las unidades es un 6. Como 6 es
mayor o igual que 5, aumentamos el dígito en el lugar de las decenas en uno. Entonces
el 7 en el lugar de las decenas se convierte en un 8. Ahora, reemplace
cualquier dígito a la derecha del 8 con ceros. Entonces, 76 redondea a 80.
Veamos nuevamente el redondeo 72 al 10 más cercano. De
nuevo, miramos el lugar de las unidades.
El dígito en el lugar de las unidades es 2. Debido a que 2
es menor que 5, mantenemos el dígito en el lugar de las decenas igual y
reemplazamos los dígitos a la derecha con cero. Entonces 72 redondeado a la
decena más cercana es 70.
Ejemplo
Redondea cada número a la centena más cercana:
Ⓐ 23.658 ⓑ 3.978
Solución
Ⓐ
Localiza el lugar de las centenas.
El dígito a la derecha del lugar de las centenas es 5.
Subraye el dígito a la derecha del lugar de las centenas.
Como 5 es mayor o igual que 5, redondee al agregar 1 al
dígito en el lugar de las centenas. Luego reemplace todos los dígitos a la
derecha del lugar de las centenas con ceros.
Entonces 23,658 redondeado a la centena más cercana es
23,700.
Ⓑ
Localiza el lugar de las centenas.
Subraye el dígito a la derecha del lugar de las centenas.
El dígito a la derecha del lugar de las centenas es 7. Dado
que 7 es mayor o igual que 5, redondee al sumar 1 al 9. Luego coloque todos los
dígitos a la derecha del lugar de las centenas con ceros.
Entonces 3,978 redondeado a la centena más cercana es 4,000.
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