Las leyes del movimiento planetario

Aproximadamente cuando Galileo comenzaba sus experimentos con la caída de cuerpos, los esfuerzos de otros dos científicos avanzaron dramáticamente nuestra comprensión de los movimientos de los planetas. Estos dos astrónomos fueron el observador Tycho Brahe y el matemático Johannes Kepler. Juntos, colocaron las especulaciones de Copérnico sobre una base matemática sólida y allanaron el camino para el trabajo de Isaac Newton en el próximo siglo.

Observatorio de Tycho Brahe

Tres años después de la publicación de Copérnico De Revolutionibus, Tycho Brahe nació en una familia de la nobleza danesa. Desarrolló un temprano interés en la astronomía y, cuando era joven, realizó importantes observaciones astronómicas. Entre estos se encontraba un estudio cuidadoso de lo que ahora sabemos que fue una estrella en explosión que estalló con gran brillo en el cielo nocturno. Su creciente reputación le valió el patrocinio del rey danés Federico II, y a la edad de 30 años, Brahe pudo establecer un excelente observatorio astronómico en la isla de Hven, en el Mar del Norte. Brahe fue el último y más grande de los observadores pre-telescópicos en Europa.

Tycho Brahe (1546–1601) y Johannes Kepler (1571–1630). (a) Un grabado estilizado muestra a Tycho Brahe usando sus instrumentos para medir la altitud de los objetos celestes sobre el horizonte. El gran instrumento curvo en primer plano le permitió medir ángulos precisos en el cielo. Tenga en cuenta que la escena incluye indicios de la grandeza del observatorio de Brahe en Hven. (b) Kepler fue un matemático y astrónomo alemán. Su descubrimiento de las leyes básicas que describen el movimiento planetario colocó la cosmología heliocéntrica de Copérnico sobre una base matemática firme.

En Hven, Brahe hizo un registro continuo de las posiciones del Sol, la Luna y los planetas durante casi 20 años. Sus observaciones extensas y precisas le permitieron notar que las posiciones de los planetas variaban de las que figuran en las tablas publicadas, que se basaron en el trabajo de Ptolomeo. Estos datos eran extremadamente valiosos, pero Brahe no tenía la capacidad de analizarlos y desarrollar un modelo mejor que el que había publicado Ptolomeo. Se inhibió aún más porque era un tipo extravagante y cascarrabias, y acumuló enemigos entre los funcionarios del gobierno. Cuando su patrón, Federico II, murió en 1597, Brahe perdió su base política y decidió abandonar Dinamarca. Se instaló en Praga, donde se convirtió en astrónomo de la corte del emperador Rudolf de Bohemia. Allí, en el año anterior a su muerte, Brahe encontró al joven matemático más capaz, Johannes Kepler, para ayudarlo a analizar sus extensos datos planetarios.
Johannes Kepler

Johannes Kepler nació en una familia pobre en la provincia alemana de Württemberg y vivió gran parte de su vida en medio de la agitación de la Guerra de los Treinta Años. Asistió a la universidad en Tubingen y estudió para una carrera teológica. Allí, aprendió los principios del sistema copernicano y se convirtió a la hipótesis heliocéntrica. Eventualmente, Kepler fue a Praga para servir como asistente de Brahe, quien lo puso a trabajar tratando de encontrar una teoría satisfactoria del movimiento planetario, una que fuera compatible con la larga serie de observaciones hechas en Hven. Brahe era reacio a proporcionarle a Kepler mucho material en cualquier momento por temor a que Kepler descubriera los secretos del movimiento universal por sí mismo, robándole a Brahe algo de la gloria. Solo después de la muerte de Brahe en 1601, Kepler obtuvo la posesión total de los invaluables registros. Su estudio ocupó la mayor parte del tiempo de Kepler durante más de 20 años.

A través de su análisis de los movimientos de los planetas, Kepler desarrolló una serie de principios, ahora conocidos como las tres leyes de Kepler, que describían el comportamiento de los planetas en función de sus caminos a través del espacio. Las primeras dos leyes del movimiento planetario se publicaron en 1609 en The New Astronomy. Su descubrimiento fue un paso profundo en el desarrollo de la ciencia moderna.

Las dos primeras leyes del movimiento planetario

La ruta de un objeto a través del espacio se llama su órbita. Kepler inicialmente asumió que las órbitas de los planetas eran círculos, pero hacerlo no le permitió encontrar órbitas que fueran consistentes con las observaciones de Brahe. Al trabajar con los datos de Marte, finalmente descubrió que la órbita de ese planeta tenía la forma de un círculo algo aplanado, o elipse. Al lado del círculo, la elipse es el tipo más simple de curva cerrada, que pertenece a una familia de curvas conocidas como secciones cónicas.

Secciones Cónicas. El círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola están formados por la intersección de un plano con un cono. Es por eso que tales curvas se llaman secciones cónicas.

Puede recordar de las clases de matemáticas que en un círculo, el centro es un punto especial. La distancia desde el centro a cualquier parte del círculo es exactamente la misma. En una elipse, la suma de la distancia desde dos puntos especiales dentro de la elipse a cualquier punto de la elipse es siempre la misma. Estos dos puntos dentro de la elipse se llaman focos (singular: foco), una palabra inventada por Kepler para este propósito.

Esta propiedad sugiere una forma simple de dibujar una elipse. Envolvemos los extremos de un bucle de cuerda alrededor de dos tachuelas empujadas a través de una hoja de papel en un tablero de dibujo, para que la cuerda quede floja. Si empujamos un lápiz contra la cuerda, tensando la cuerda, y luego deslizamos el lápiz contra la cuerda alrededor de las tachuelas, la curva resultante es una elipse. En cualquier punto donde pueda estar el lápiz, la suma de las distancias del lápiz a las dos tachuelas es una longitud constante: la longitud de la cuerda. Las tachuelas están en los dos focos de la elipse.

El diámetro más ancho de la elipse se llama su eje principal. La mitad de esta distancia, es decir, la distancia desde el centro de la elipse a un extremo, es el semieje mayor, que generalmente se usa para especificar el tamaño de la elipse. Por ejemplo, el semieje mayor de la órbita de Marte, que también es la distancia promedio del planeta desde el Sol, es de 228 millones de kilómetros.

 Dibujando una elipse. (a) Podemos construir una elipse empujando dos tachuelas (los objetos blancos) en un pedazo de papel en un tablero de dibujo, y luego haciendo un lazo alrededor de las tachuelas. Cada tachuela representa un foco de la elipse, siendo una de las tachuelas el Sol. Estire la cuerda firmemente con un lápiz, y luego mueva el lápiz alrededor de las tachuelas. La longitud de la cadena sigue siendo la misma, de modo que la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los focos es siempre constante. (b) En esta ilustración, cada semieje principal se denota por a. La distancia 2a se llama el eje principal de la elipse.

La forma (redondez) de una elipse depende de qué tan juntos estén los dos focos, en comparación con el eje mayor. La relación de la distancia entre los focos y la longitud del semieje principal se llama excentricidad de la elipse.

Si los focos (o tachuelas) se mueven a la misma ubicación, entonces la distancia entre los focos sería cero. Esto significa que la excentricidad es cero y la elipse es solo un círculo; así, un círculo puede llamarse una elipse de excentricidad cero. En un círculo, el semieje mayor sería el radio.

A continuación, podemos hacer elipses de varios alargamientos (o longitudes extendidas) variando el espaciado de las tachuelas (siempre que no estén más separadas que la longitud de la cuerda). Cuanto mayor es la excentricidad, más alargada es la elipse, hasta una excentricidad máxima de 1.0, cuando la elipse se vuelve "plana", el otro extremo de un círculo.

El tamaño y la forma de una elipse están completamente especificados por su semieje principal y su excentricidad. Usando los datos de Brahe, Kepler descubrió que Marte tiene una órbita elíptica, con el Sol en un foco (el otro foco está vacío). La excentricidad de la órbita de Marte es de solo 0.1; su órbita, dibujada a escala, sería prácticamente indistinguible de un círculo, pero la diferencia resultó ser crítica para comprender los movimientos planetarios.

Kepler generalizó este resultado en su primera ley y dijo que las órbitas de todos los planetas son elipses. Este fue un momento decisivo en la historia del pensamiento humano: no era necesario tener solo círculos para tener un cosmos aceptable. El universo podría ser un poco más complejo de lo que los filósofos griegos hubieran querido que fuera.

La segunda ley de Kepler trata de la velocidad con la que cada planeta se mueve a lo largo de su elipse, también conocida como su velocidad orbital. Al trabajar con las observaciones de Brahe sobre Marte, Kepler descubrió que el planeta se acelera a medida que se acerca al Sol y se ralentiza a medida que se aleja del Sol. Expresó la forma precisa de esta relación al imaginar que el Sol y Marte están conectados por una línea recta y elástica. Cuando Marte está más cerca del Sol (posiciones 1 y 2 en la Figura 3.5), la línea elástica no se estira tanto y el planeta se mueve rápidamente. Más lejos del Sol, como en las posiciones 3 y 4, la línea se estira mucho y el planeta no se mueve tan rápido. A medida que Marte viaja en su órbita elíptica alrededor del Sol, la línea elástica barre áreas de la elipse a medida que se mueve (las regiones coloreadas en nuestra figura). Kepler descubrió que en intervalos iguales de tiempo (t), las áreas barridas en el espacio por esta línea imaginaria son siempre iguales; es decir, el área de la región B de 1 a 2 es la misma que la de la región A de 3 a 4.

Si un planeta se mueve en una órbita circular, la línea elástica siempre se estira la misma cantidad y el planeta se mueve a una velocidad constante alrededor de su órbita. Pero, como descubrió Kepler, en la mayoría de las órbitas, la velocidad de un planeta que orbita su estrella (o la luna que orbita su planeta) tiende a variar porque la órbita es elíptica.

La segunda ley de Kepler: la ley de áreas iguales. La velocidad orbital de un planeta que viaja alrededor del Sol (el objeto circular dentro de la elipse) varía de tal manera que en intervalos iguales de tiempo (t), una línea entre el Sol y un planeta barre áreas iguales (A y B) . Tenga en cuenta que las excentricidades de las órbitas de los planetas en nuestro sistema solar son sustancialmente menores que las que se muestran aquí.

La tercera ley de Kepler

Las primeras dos leyes del movimiento planetario de Kepler describen la forma de la órbita de un planeta y nos permiten calcular la velocidad de su movimiento en cualquier punto de la órbita. Kepler estaba complacido de haber descubierto reglas tan fundamentales, pero no satisfacían su búsqueda para comprender completamente los movimientos planetarios. Quería saber por qué las órbitas de los planetas estaban espaciadas como están y encontrar un patrón matemático en sus movimientos, una "armonía de las esferas", como él lo llamaba. Durante muchos años trabajó para descubrir las relaciones matemáticas que rigen el espaciamiento planetario y el tiempo que tomó cada planeta para dar la vuelta al Sol.

En 1619, Kepler descubrió una relación básica para relacionar las órbitas de los planetas con sus distancias relativas del Sol. Definimos el período orbital de un planeta, (P), como el tiempo que le toma a un planeta viajar una vez alrededor del Sol. Además, recuerde que el semieje principal de un planeta, a, es igual a su distancia promedio del Sol. La relación, ahora conocida como la tercera ley de Kepler, dice que el período orbital de un planeta al cuadrado es proporcional al semieje mayor de su órbita en cubos, o

P² ∝ a³

Cuando P (el período orbital) se mide en años, y a se expresa en una cantidad conocida como unidad astronómica (AU), los dos lados de la fórmula no solo son proporcionales sino iguales. Una UA es la distancia promedio entre la Tierra y el Sol y es aproximadamente igual a 1.5 × 108 kilómetros. En estas unidades,

P² = a³

La tercera ley de Kepler se aplica a todos los objetos que orbitan alrededor del Sol, incluida la Tierra, y proporciona un medio para calcular sus distancias relativas del Sol desde el tiempo que tardan en orbitar. Veamos un ejemplo específico para ilustrar cuán útil es la tercera ley de Kepler.

Por ejemplo, suponga que mide el tiempo que Marte tarda en dar la vuelta al Sol (en años terrestres). La tercera ley de Kepler se puede usar para calcular la distancia promedio de Marte al Sol. El período orbital de Marte (1.88 años terrestres) al cuadrado, o P², es 1.882 = 3.53, y de acuerdo con la ecuación para la tercera ley de Kepler, esto es igual al cubo de su semieje mayor, o a³. Entonces, ¿qué número debe ser al cubo para dar 3.53? La respuesta es 1.52 (ya que 1.52 × 1.52 × 1.52 = 3.53). Por lo tanto, el semieje principal de Marte en unidades astronómicas debe ser 1,52 UA. En otras palabras, para dar la vuelta al Sol en un poco menos de dos años, Marte debe estar alrededor del 50% (la mitad de nuevo) tan lejos del Sol como la Tierra.

Ejemplo:

Calcular períodos

Imagina que un objeto está viajando alrededor del Sol. ¿Cuál sería el período orbital del objeto si su órbita tiene un semieje mayor de 50 UA?

Solución

Según la tercera ley de Kepler, sabemos que (cuando usamos unidades de años y AU)

P² = a³

Si la órbita del objeto tiene un semieje mayor de 50 UA (a = 50), podemos hacer un cubo de 50 y luego sacar la raíz cuadrada del resultado para obtener P:

P = a³

P =  √ 5 0 × 5 0 × 5 0 = √ =125,000 = 353.6 años

Por lo tanto, el período orbital del objeto es de aproximadamente 350 años. Esto colocaría nuestro objeto hipotético más allá de la órbita de Plutón.

Comprueba tu aprendizaje

¿Cuál sería el período orbital de un asteroide (una porción rocosa entre Marte y Júpiter) con un semieje mayor de 3 UA?

Respuesta

Las tres leyes del movimiento planetario de Kepler se pueden resumir de la siguiente manera:

• La primera ley de Kepler: cada planeta se mueve alrededor del Sol en una órbita que es una elipse, con el Sol en un foco de la elipse.
• Segunda ley de Kepler: la línea recta que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en el espacio en intervalos de tiempo iguales.
• Tercera ley de Kepler: el cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.

Las tres leyes de Kepler proporcionan una descripción geométrica precisa del movimiento planetario en el marco del sistema copernicano. Con estas herramientas, fue posible calcular posiciones planetarias con una precisión muy mejorada. Aún así, las leyes de Kepler son puramente descriptivas: no nos ayudan a comprender qué fuerzas de la naturaleza obligan a los planetas a seguir este conjunto particular de reglas. Ese paso fue dejado a Isaac Newton.

Ejemplo

Aplicando la Tercera Ley de Kepler

Utilizando los períodos orbitales y los semiejes principales para Venus y la Tierra que se proporcionan aquí, calcule P² y a³, y verifique que obedecen la tercera ley de Kepler. El período orbital de Venus es de 0,62 años, y su semieje mayor es de 0,72 UA. El período orbital de la Tierra es de 1.00 años, y su semieje mayor es de 1.00 UA.

Solución

Podemos usar la ecuación para la tercera ley de Kepler, P² ∝ a³. Para Venus, P² = 0.62 × 0.62 = 0.38 y a³ = 0.72 × 0.72 × 0.72 = 0.37 (los números de redondeo a veces causan discrepancias menores como esta). El cuadrado del período orbital (0.38) se aproxima al cubo del semieje mayor (0.37). Por lo tanto, Venus obedece la tercera ley de Kepler. Para la Tierra, P² = 1.00 × 1.00 = 1.00 y a³ = 1.00 × 1.00 × 1.00 = 1.00. El cuadrado del período orbital (1.00) se aproxima (en este caso, es igual) al cubo del semieje mayor (1.00). Por lo tanto, la Tierra obedece la tercera ley de Kepler.

Comprueba tu aprendizaje

Usando los períodos orbitales y los semiejes principales para Saturno y Júpiter que se proporcionan aquí, calcule P2 y a3, y verifique que obedecen la tercera ley de Kepler. El período orbital de Saturno es de 29,46 años, y su semieje mayor es de 9,54 UA. El período orbital de Júpiter es de 11.86 años, y su semieje mayor es de 5.20 UA.

Respuesta

Para Saturno, P² = 29.46 × 29.46 = 867.9 y a³ = 9.54 × 9.54 × 9.54 = 868.3. El cuadrado del período orbital (867.9) se aproxima al cubo del semieje mayor (868.3). Por lo tanto, Saturno obedece la tercera ley de Kepler.

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